人教版七年级下册数学 6.3 实数 同步练习
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【知识梳理】
1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数类型：（1）开方开不尽的数，如√2，√3，³√5等；（2）含有π的数，如π，π/2等；（3）有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…。
2. 实数：有理数和无理数统称实数。实数的分类：
实数 { 有理数 { 整数 { 正整数、0、负整数 }，分数 { 正分数、负分数 } }
{ 无理数 { 正无理数、负无理数 }
3. 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
4. 实数的相反数和绝对值：（1）实数a的相反数是−a；（2）一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即：|a| = a（a>0）；|a| = 0（a=0）；|a| = −a（a<0）。
5. 实数的运算：实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 3.14 B. 22/7 C. √16 D. ³√9
2. √5−2 的相反数是（ ）
A. √5+2 B. −√5+2 C. 2−√5 D. −2−√5
3. 下列各数中，与√3最接近的是（ ）
A. 1.7 B. 1.73 C. 1.732 D. 1.7321
4. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）（P在3和4之间且靠近3）
A. √7 B. √10 C. √15 D. ³√25
5. 下列计算正确的是（ ）
A. √2+√3=√5 B. 2+√2=2√2 C. √8×√2=4 D. √6÷√3=2
6. 估计√(31)−2的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
二、填空题（每题4分，共24分）
7. −√3的绝对值是_______；|√3−2|=_______。
8. 比较大小：√15_______4（填”>””<“或”=”）。
9. 在数轴上，与表示√3的点距离为2的点所表示的数是_______。
10. 若|x|=√7，则x=_______。
11. 计算：|√2−√3|+|√2−1|−|√3−√2|=_______。
12. 大于−√17且小于√11的所有整数的和是_______。
三、解答题（共52分）
13.（8分）把下列各数填入相应的集合内：
−7，0.32，1/3，√8，0，³√125，π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），|−2√3|，−√(9/16)
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
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14.（8分）计算：
(1) √25 − ³√(−27) + √(1/4)
(2) |√3−2| + ³√(−8) − √3 × √(1/3)
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15.（8分）求下列各式中的 x：
(1) |x|=√5 (2) (x−1)²=4 (3) 8(x+2)³=−27
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16.（8分）如图，a、b、c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数。试化简：
√c² − |a−b| + ³√(a+b)³ − |b−c|
（已知 a<b<0<c）
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17.（8分）已知 2a−1 的平方根是 ±3，3a+b−1 的算术平方根是 4，求 √(a+2b) 的值。
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18.（12分）观察下列各式：
√(1+1/1²+1/2²) = 1+1/1−1/2 = 3/2
√(1+1/2²+1/3²) = 1+1/2−1/3 = 7/6
√(1+1/3²+1/4²) = 1+1/3−1/4 = 13/12
(1) 观察规律，写出第4个等式；
(2) 猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证。
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【拔高提升】
拓展题1.（8分）已知 √(a²) = −a，求 a 的取值范围。若 ³√(a³)=a 是否总是成立？为什么？
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拓展题2.（8分）阅读材料：因为 4<5<9，所以 2<√5<3，即√5的整数部分为2，小数部分为√5−2。类比解决：
(1) 求√35的整数部分和小数部分；
(2) 已知 10+√3 = x+y，其中 x 是整数，0<y<1，求 x−y 的相反数。
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拓展题3.（8分）定义新运算：对于任意实数 a、b，都有 a⊕b = a(a−b)+1。例如：2⊕5 = 2×(2−5)+1 = −5。
(1) 求 (−2)⊕3 的值；
(2) 若 3⊕x 的值小于 13，求 x 的取值范围。
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参考答案
一、选择题
1-6: D C C B C A
详解：1.D（³√9是无理数）；2.C（−√5+2=2−√5）；3.C；4.B（3²=9<10<16=4²，√10≈3.16）；5.C（√8×√2=√16=4）；6.A（5²=25<31<36=6²，√31≈5.57，−2=3.57）。
二、填空题
7. √3；2−√3（因为√3<2，|√3−2|=2−√3）。
8. <（4²=16>15，√15<4）。
9. √3+2 和 √3−2。
10. ±√7。
11. √2−1 解析：|√2-√3|=√3-√2，|√2-1|=√2-1，|√3-√2|=√3-√2。原式=√3-√2+√2-1-(√3-√2)=√2-1。
12. −4 解析：−√17≈−4.1，√11≈3.3，之间整数有−4、−3、−2、−1、0、1、2、3，和为−4。
三、解答题
13. 有理数：−7，0.32，1/3，0，³√125=5，−√(9/16)=−3/4。无理数：√8，π，0.1010010001…，|−2√3|=2√3。
14. (1)5−(−3)+1/2=8.5；(2)(2−√3)+(−2)−√3×(1/√3)=2−√3−2−1=−√3−1。
15. (1)x=±√5；(2)x−1=±2，x=3或−1；(3)8(x+2)³=−27，(x+2)³=−27/8，x+2=−3/2，x=−7/2。
16. a<b<0<c，√c²=|c|=c；|a-b|=b-a（因为a<b）；³√(a+b)³=a+b；|b−c|=c−b（因为b<0<c，b<c）。原式=c−(b-a)+(a+b)−(c-b)=c−b+a+a+b−c+b=2a+b。
17. 2a−1=9，a=5。3a+b−1=16，15+b−1=16，b=2。√(a+2b)=√(5+4)=√9=3。
18. (1)√(1+1/4²+1/5²)=1+1/4−1/5=21/20。(2)√(1+1/n²+1/(n+1)²)=1+1/n−1/(n+1)=(n(n+1)+1)/(n(n+1))。验证：两边平方可得。
【拔高提升】
拓展1. √(a²)=|a|=−a，当|a|=−a即a≤0。³√(a³)=a总是成立，因为立方根不改变符号。
拓展2. (1)5²=25<35<36=6²，√35整数部分5，小数部分√35−5。(2)√3≈1.732，10+√3≈11.732，x=11，y=√3−1≈0.732。x−y=11−(√3−1)=12−√3，相反数为√3−12。
拓展3. (1)(−2)⊕3=(−2)×(−2−3)+1=(−2)×(−5)+1=11。(2)3⊕x=3(3−x)+1=10−3x<13，−3x<3，x>−1。
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