人教版七年级下册数学 6.2 立方根 同步练习
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【知识梳理】
1. 立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根（或三次方根），记作 ³√a。即：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根。
2. 立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0。任何数都有且只有一个立方根。
3. 立方根的重要公式：（1）(³√a)³ = a；（2）³√(-a) = -³√a；（3）³√(a³) = a。
4. 平方根与立方根的区别与联系：
（1）表示方法：平方根为 ±√a，立方根为 ³√a。
（2）a的取值范围：平方根要求 a≥0；立方根中 a 可为任意实数。
（3）个数：正数的平方根有2个（互为相反数），立方根有且只有1个。
5. 常见立方数：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216，7³=343，8³=512，9³=729，10³=1000。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 8的立方根是（ ）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根与这个数同号
3. ³√(−8)²的立方根是（ ）
A. 2 B. −2 C. 4 D. −4
4. 下列计算正确的是（ ）
A. ³√0.001 = 0.1 B. ³√(−8/27) = −2/9
C. ³√64 = ±8 D. ³√(-a)³ = a
5. 若 ³√(2x+1) + ³√(x−4) = 0，则 x 的值为（ ）
A. 1 B. −1 C. 4 D. −4
6. 已知 ³√(0.342) ≈ 0.6993，³√(3.42) ≈ 1.503，³√(34.2) ≈ 3.247，则 ³√(34200) ≈（ ）
A. 0.06993 B. 6.993 C. 32.47 D. 324.7
二、填空题（每题4分，共24分）
7. 64的立方根是_______；³√(−125) = _______。
8. 若 x³ = −27，则 x =_______；若 ³√x = −2，则 x =_______。
9. −³√(512) = _______；³√(10⁻⁶) = _______。
10. 已知 ³√(1.12) ≈ 1.038，则 ³√(1120000) ≈ _______。
11. 若 ³√(a−1) + ³√(2−b) = 0，则 a+b =_______。
12. 下列各数：³√(a³+b³)，³√8，³√(−27)，(³√x)³，³√x³ 中，一定等于 a+b 的是_______（填序号）。
三、解答题（共52分）
13.（8分）求下列各数的立方根：
(1) −8 (2) 0.027 (3) −125/216 (4) 10⁹
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14.（8分）求下列各式中 x 的值：
(1) x³−27=0 (2) 8x³+125=0 (3) (x−1)³=64
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15.（10分）计算：
(1) ³√(−8) − ³√(0.125) + √(1/4)
(2) ³√(3(3/8)) + ³√(1−91/216) − ³√(−343/512)
(3) ³√[(−1)³] + ³√[(−2)³] − ³√[(−3)³]
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16.（8分）已知 A = (⁴√(x+y+3)) 是 x+y+3 的算术平方根，B = (²√(x+2y)) 是 x+2y 的立方根，求 B−A 的立方根。
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17.（8分）一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？若体积变为原来的27倍呢？n倍呢？请总结规律。
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18.（10分）阅读理解并解答：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。根据开立方与立方互为逆运算的关系，可以借助立方运算来求一些数的立方根。
例：求³√(110592)。
解：110592的末位是2，立方根末位是8。因为50³=125000>110592，40³=64000<110592，立方根是两位数。40³=64000，50³=125000，110592在两者之间。立方根十位是4。又因为48³=110592，所以³√(110592)=48。
仿照以上方法，求 ³√(314432) 和 ³√(373248) 的值。
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【拔高提升】
拓展题1.（8分）已知 ³√(1−2x) 与 ³√(3y−2) 互为相反数，求 (1+2x)/y 的值。
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拓展题2.（8分）已知 a 满足 |2025−a| + √(a−2026) = a，求 a−2025² 的值。
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拓展题3.（8分）有一块正方体木块，体积是125cm³。现在将它锯成8块同样大小的小正方体木块。
(1) 求每个小正方体木块的表面积；
(2) 将这8个小正方体重新拼成一个长方体，有几种不同的拼法？哪种拼法所得长方体的表面积最小？
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参考答案
一、选择题
1-6: A D A A A C
详解：1.A；2.D；3. 立方根(-8)平方=立方根64=4，选A；
4. A（B应为−2/3，C：³√64=4，D：³√(-a)³=−a）；5.A（³√(2x+1)=−³√(x−4)，2x+1=−(x−4)，3x=3，x=1）；6.C（34200=34.2×1000，³√34200=³√34.2×10=32.47）。
二、填空题
7. 4；−5
8. −3；−8
9. −8；0.01 解析：³√512=8，−³√512=−8；³√(10⁻⁶)=10⁻²=0.01。
10. 103.8 解析：1120000=1.12×10⁶，³√(1120000)=³√1.12×10²≈103.8。
11. 3 解析：³√(a−1)=−³√(2−b)=³√(b−2)，a−1=b−2，a−b=−1。又原式=0，a−1=−(2−b)，a+b=3。
12. ④⑤ 解析：³√(x³)=x，但³√(a³+b³)≠a+b。一定等于a+b的只有(³√x)³=x（当x=a+b时）和³√(a³)=a。
三、解答题
13. (1)−2；(2)0.3；(3)−5/6；(4)10³。
14. (1)x³=27，x=3；(2)8x³=−125，x³=−125/8，x=−5/2；(3)x−1=4，x=5。
15. (1)=−2−0.5+0.5=−2；(2)=³√(27/8)+³√(125/216)−(−7/8)=3/2+5/6+7/8=36/24+20/24+21/24=77/24；(3)=−1+(−2)−(−3)=0。
16. 由题意：4的平方根为±2，A=±2（算术平方根应为2）。B的立方根应为整个表达式，解题需谨慎。
17. 体积变为8倍，棱长变为³√8=2倍；27倍→³√27=3倍；n倍→³√n倍。规律：棱长之比=体积之比的立方根。
18. ³√(314432)：末位2→8，60³=216000<314432<70³=343000，十位6。验算68³=314432，=68。³√(373248)：末位8→2，70³=343000<373248<80³=512000，十位7。验算72³=373248，=72。
【拔高提升】
拓展1. ³√(1−2x)=−³√(3y−2)=³√(2−3y)，1−2x=2−3y，3y−2x=1。y=(2x+1)/3。(1+2x)/y=(1+2x)×3/(1+2x)=3。
拓展2. 由√(a−2026)知a≥2026。|2025−a|+|a−2026|的开方=a。即(a−2025)+√(a−2026)=a，√(a−2026)=2025，a−2026=2025²，a=2025²+2026，a−2025²=2026。
拓展3. (1)大正方体棱长=5cm，小正方体体积=125/8=15.625cm³，棱长=2.5cm。表面积=6×2.5²=37.5cm²。(2)拼法：1×1×8，1×2×4，2×2×2三种。2×2×2拼法表面积最小（=6×5²=150cm² vs 其他更大）。
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