人教版七年级下册数学 8.4 三元一次方程组的解法 同步练习
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【知识梳理】
1. 三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
2. 解三元一次方程组的基本思路：通过”代入”或”加减”进行消元，把”三元”化为”二元”，再化为”一元”，从而解出未知数的值。即：三元→二元→一元。
3. 解法步骤：（1）利用代入法或加减法，消去方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出第三个未知数的值；（4）写出方程组的解并检验。
4. 解三元一次方程组的关键是消元。选择先消去哪个未知数一般遵循以下原则：选系数比较简单的未知数；选在三个方程中至少有两个方程系数相同的未知数。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A. {x+y=3, y+z=5} B. {x+y=3, y+z=5, z+x=4}
C. {x+y+z=6, x²+y=5} D. {x+y=3, xy+z=5, x−z=1}
2. 解三元一次方程组{x+y+z=26, x−y=1, 2x−y+z=18}，要使运算简便，应先消去（ ）
A. x B. y C. z D. 都行
3. 方程组{x+y=3, y+z=5, z+x=4}的解为（ ）
A. {x=1,y=2,z=3} B. {x=2,y=1,z=3} C. {x=3,y=2,z=1} D. {x=1,y=2,z=4}
4. 已知三元一次方程组{3x−y+z=4, 2x+3y−z=12, x+y+z=6}，则x+y+z的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 若|x−y−3z|+(y−1)²+|2x−y|=0，则x+y+z的值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6. 甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18。设甲、乙、丙分别为x、y、z，可列方程组（ ）
A. {x+y+z=26, x−y=1, 2x+z−y=18} B. {x+y+z=26, x−y=1, 2x+z=y+18}
C. {x+y+z=26, y−x=1, 2x+z=18} D. {x+y+z=26, x−y=1, 2x−y+z=18}
二、填空题（每题4分，共20分）
7. 三元一次方程组{x+y=5, y+z=7, z+x=8}的解为x=_______，y=_______，z=_______。
8. 若(2x−y)²+|y+z|+(x−2z)²=0，则x+y+z=_______。
9. 已知代数式ax²+bx+c，当x=1时，其值为4；当x=2时，其值为9；当x=−1时，其值为0。则a=_______，b=_______，c=_______。
10. 在等式y=ax²+bx+c中，当x=−1时，y=0；当x=1时，y=4；当x=2时，y=3。则a+b+c=_______。
11. 某校七年级有三个班，一班、二班、三班共有学生148人。一班比二班多3人，二班与三班的人数比为4:5。设一班有x人，二班有y人，三班有z人，则可列方程组：________________________。
三、解答题（共56分）
12.（10分）解下列三元一次方程组：
(1) {x+y+z=6, x−y+2z=5, 2x+y−z=1}
(2) {x:y=3:2, y:z=5:4, x+y+z=66}
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13.（10分）解方程组：{2x+4y+3z=9, 3x−2y+5z=11, 5x−6y+7z=13}
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14.（10分）已知关于x、y、z的方程组{3x−y+z=10, x+2y−z=6, x+y+2z=17}，求x+y+z的值。
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15.（12分）在等式y=ax²+bx+c中，当x=0时，y=2；当x=−1时，y=0；当x=1时，y=6。
(1) 求a、b、c的值；
(2) 当x=−2时，求y的值。
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16.（14分）某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜。已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的资金如下表：
| 作物品种 | 每公顷所需劳动力 | 每公顷所需投入资金（万元） |
| 水稻 | 4人 | 1 |
| 棉花 | 8人 | 1 |
| 蔬菜 | 5人 | 2 |
已知该农场计划投入资金67万元。应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
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【拔高提升】
拓展题1.（8分）解三元一次方程组：{x+y=3, y+z=5, x+z=6}。你能发现更简便的方法吗？写出你的解法。
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拓展题2.（8分）已知关于x、y、z的方程组{x+y=3a, y+z=4a, z+x=5a}的解使代数式x−2y+3z的值等于−10。求a的值。
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拓展题3.（8分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。已知加密规则为：明文x、y、z对应密文为2x+3y、3x+4y、4x+5z。例如：明文1、2、3对应密文8、11、19。当接收方收到密文21、29、47时，解密得到的明文是多少？
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参考答案
一、选择题
1-6: B B A C C B
详解：1.B；2.B（x-y=1可直接用x=y+1代入）；3.A；4.C（x+y+z=6）；5.C；6.B。
二、填空题
7. x=3, y=2, z=5（三式相加除2：x+y+z=10，分别减各方程）
8. 0（2x−y=0→y=2x，y+z=0→z=−y=−2x，x−2(−2x)=x+4x=0→5x=0→x=0，y=0，z=0）
9. a=2, b=1, c=1（代入：a+b+c=4，4a+2b+c=9，a−b+c=0）
10. 4（a−b+c=0，a+b+c=4，4a+2b+c=3。一式+三式：5a+3c=3。二式+一式：2a+2c=4→a+c=2。但不好解。两两相减：(1)−(2):−2b=−4→b=2。(2)−(3):−3a−b=1→−3a−2=1→a=−1。a+b+c=4→−1+2+c=4→c=3。a+b+c=−1+2+3=4。）
11. {x+y+z=148, x−y=3, y/z=4/5 即 5y=4z}。
三、解答题
12. (1){x+y+z=6…①,x−y+2z=5…②,2x+y−z=1…③}。①+③:3x+2y=7…④。②+③×2:x−y+2z+4x+2y−2z=5+2→5x+y=7…⑤。由④⑤解出x,y。④×1:3x+2y=7；⑤×2:10x+2y=14。相减：7x=7→x=1，y=2，z=3。(2)设x=15k,y=10k,z=8k。15k+10k+8k=66→33k=66→k=2。x=30,y=20,z=16。
13. {2x+4y+3z=9,3x−2y+5z=11,5x−6y+7z=13}。先消y：一式+二式×2：2x+4y+3z+6x−4y+10z=9+22→8x+13z=31。一式×3+三式×2：6x+12y+9z+10x−12y+14z=27+26→16x+23z=53。解{8x+13z=31,16x+23z=53}：一式×2:16x+26z=62，减二式：3z=9→z=3，x=1。代入一式：2+4y+9=9→y=−1/2。答案x=1,y=−0.5,z=3。
14. 三式相加：5x+2y+2z=33…不好直接求。一式+二式：4x+y=16。一式+三式：4x+3z=27。二式+三式：2x+3y+z=23。由4x+y=16得y=16−4x。回代求。最后解x=3,y=4,z=5。x+y+z=12。
15. (1)x=0,y=2→c=2。代入另两个：a−b+2=0→a−b=−2；a+b+2=6→a+b=4。解得a=1,b=3,c=2。(2)y=x²+3x+2。x=−2时y=4−6+2=0。
16. 设水稻x公顷、棉花y公顷、蔬菜z公顷。{x+y+z=51, 4x+8y+5z=300, x+y+2z=67}。三式减一式：z=16。代入一、二：x+y=35，4x+8y+80=300→4x+8y=220→x+2y=55。解{x+y=35,x+2y=55}→y=20,x=15。水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷。
【拔高提升】
拓展1. 三式相加：2(x+y+z)=14→x+y+z=7。分别减去各式：z=4,y=1,x=2。
拓展2. 三式相加：2(x+y+z)=12a→x+y+z=6a。分别减各式：z=3a,x=2a,y=a。代入x−2y+3z=2a−2a+9a=9a=−10→a=−10/9。
拓展3. 设明文为x,y,z。{2x+3y=21, 3x+4y=29, 4x+5z=47}。前两式解：一式×3:6x+9y=63，二式×2:6x+8y=58，相减y=5，代入：2x+15=21→x=3。第三式：12+5z=47→z=7。明文为3,5,7。
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