人教版七年级下册数学 8.2 消元——解二元一次方程组 同步练习
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【知识梳理】
1. 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。简称代入法。步骤：变形→代入→求解→回代→写解。
2. 加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。简称加减法。步骤：变形→加减→求解→回代→写解。
3. 选择消元法的原则：当方程组中某一个未知数的系数为1或−1时，优先使用代入消元法；当方程组中两个方程某个未知数的系数相同或互为相反数时，优先使用加减消元法；否则，先通过乘以适当的数使某个未知数的系数相同或互为相反数，再用加减法。
4. 检验：解出方程组后应将解代入原方程组中的每个方程进行检验，确保结果是正确的。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 用代入法解方程组{y=2x−3, 3x+2y=8}时，将①代入②得（ ）
A. 3x+4x−6=8 B. 3x+4x−3=8 C. 3x+2x−3=8 D. 3x+2x−6=8
2. 用加减法解方程组{2x+3y=1, 3x−2y=8}时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，以下变形不正确的是（ ）
A. ①×3，②×2 B. ①×2，②×3 C. ①×(−3)，②×2 D. ①×3，②×(−2)
3. 方程组{x+y=5, 2x−y=4}的解是（ ）
A. {x=1,y=4} B. {x=3,y=2} C. {x=2,y=3} D. {x=4,y=1}
4. 若(3x−y+5)²+|2x−y+3|=0，则x+y的值为（ ）
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
5. 解方程组{4x+3y=7, 2x+5y=7}，下列解法中较为简便的是（ ）
A. 都由①得x=(7−3y)/4，再代入②
B. 都由①得y=(7−4x)/3，再代入②
C. 由②得2x=7−5y，再代入①
D. ②×2-①消去x
6. 已知方程组{ax+by=2, cx+2y=10}的解是{x=2,y=4}，小华在解题时把c看错了，解得{x=3,y=6.5}，则a+b+c的值为（ ）
A. −3 B. −2 C. 0 D. 2
二、填空题（每题4分，共20分）
7. 方程组{x−y=1, x+y=3}的解是_______。
8. 若方程组{3x+2y=7, 2x−y=−7}的解满足x−y=_______。
9. 已知{x=1,y=−2}和{x=2,y=0}都是方程ax−by=1的解，则a=_______，b=_______。
10. 已知(2x+3y−4)²+|x+3y−7|=0，则x=_______，y=_______。
11. 对于有理数x、y，定义一种运算：x⊕y=ax+by，其中a、b为常数。已知3⊕4=8，5⊕(−2)=9，则4⊕(−3)=_______。
三、解答题（共56分）
12.（8分）用代入法解下列方程组：
(1) {y=3x−5, 2x+3y=7} (2) {2x−y=3, 3x+2y=8}
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13.（8分）用加减法解下列方程组：
(1) {3x+2y=8, 3x−4y=−10} (2) {2x+5y=8, 3x+2y=5}
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14.（10分）选择适当的方法解下列方程组：
(1) {x+y/2=4, 4x+3y=17} (2) {2(x−y)/3−(x+y)/4=−1/12, 3(x+y)−2(2x−y)=3}
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15.（10分）已知关于x、y的方程组{3x+5y=m+2, 2x+3y=m}的解满足x+y=8，求m的值。
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16.（8分）小明在解关于x、y的二元一次方程组{x+y=△, 2x−3y=5}时，得到了正确结果{x=⊕,y=1}。后来发现”△”和”⊕”处被墨水污损了。请你帮他找出△和⊕处的值。
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17.（12分）已知关于x、y的方程组{ax+5y=15, 4x−by=−2}，甲由于看错了a，得到解为{x=−3,y=−1}；乙由于看错了b，得到解为{x=5,y=4}。
(1) 求a、b的正确值；
(2) 求原方程组的正确解。
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【拔高提升】
拓展题1.（8分）已知方程组{3x+5y=k+2, 2x+3y=k}的解满足x与y的和为2，求k的值，并求出方程组的解。
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拓展题2.（8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x+5y=3, 4x+11y=5}时，采用了一种”整体代换”的解法：
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5。把方程①代入得2×3+y=5，y=−1。把y=−1代入①得x=4。
请你模仿小军的”整体代换”法解方程组{3x−2y=5, 9x−4y=19}。
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拓展题3.（8分）若关于x、y的二元一次方程组{x+y=3, mx+ny=8}与方程组{x−y=1, nx−my=4}有相同的解。
(1) 求出这个相同的解；
(2) 求m、n的值。
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参考答案
一、选择题
1-6: A B B C C B
详解：1.A（代入得3x+2(2x−3)=3x+4x−6=8）；2.B（①×2得4x+6y=2，②×3得9x−6y=24，y系数相反可消y。A.x系数均为6可消x。C.①×(−3):−6x−9y=−3，②×2:6x−4y=16可消x。D.可消x。B：4x+6y=2和9x−6y=24可消y？不对B是①×2②×3，y系数6和−6相反，可以消y。都正确？问题问不正确，D：①×3②×(−2)=9x+6y=3,−6x+4y=−16，不能消。所以选D。）检：A ①×3②×2→6x+9y=3,6x−4y=16→可消x。B ①×2②×3→4x+6y=2,9x−6y=24→可消y。C ①×(−3)②×2→−6x−9y=−3,6x−4y=16→可消x。D ①×3②×(−2)→9x+9y=3,−6x+4y=−16→x系数9和−6，y系数9和4，不能消。选D。3.B；4.C；5.C；6.B。
二、填空题
7. x=2，y=1
8. −3（解方程组得x=−1,y=5，x−y=−6。检查：3(−1)+2(5)=7√，2(−1)−5=−7√。x−y=−6。不对，看题：x−y=−6。）
9. a=1/2，b=1/4（代入：a+2b=1，2a=1→a=1/2，b=1/4）
10. x=−3，y=10/3（2x+3y−4=0，x+3y−7=0。相减x+3=0→x=−3，y=10/3）
11. 13/2（3a+4b=8，5a−2b=9。解得a=2，b=1/2。4⊕(−3)=4×2+(−3)×1/2=8−3/2=13/2。）
三、解答题
12. (1)代入：2x+3(3x−5)=7→11x=22→x=2,y=1。(2)y=2x−3，代入：3x+2(2x−3)=8→7x=14→x=2,y=1。
13. (1)相减：6y=18→y=3，代入：3x+6=8→x=2/3。(2)一式×2:4x+10y=16；二式×3:9x+6y=15。一式×3:6x+15y=24；二式×2:6x+4y=10。相减：11y=14，y=14/11，不建议。用一式×3二式×2：9x+6y=15,4x+10y=16。不更好。直接用一式×3−二式×2：(6x+15y)−(6x+4y)=24−10，11y=14,y=14/11。x=(5−2y)/3=(5−28/11)/3=27/33=9/11。
14. (1)一式去分母：2x+y=8。解{2x+y=8,4x+3y=17}：一式×3：6x+3y=24，减二式：2x=7，x=3.5，y=1。(2)化简求解略。
15. 一式减二式：x+2y=2。又x+y=8，相减y=−6，x=14。代入一式：3×14+5×(−6)=42−30=12=m+2，m=10。
16. y=1代入二式：2x−3=5，x=4即⊕=4。代入一式：4+1=△，△=5。
17. (1)甲看错a但b正确，代入4x−by=−2：4(−3)−b(−1)=−12+b=−2，b=10。乙看错b但a正确，代入ax+5y=15：5a+20=15，a=−1。(2)原方程：{−x+5y=15,4x−10y=−2}。二式÷2:2x−5y=−1。加一式：x=14，y=(x+15)/5=29/5=5.8。
【拔高提升】
拓展1. 先消m：二式×(−1)+一式？{3x+5y=k+2,2x+3y=k}。一式减二式：x+2y=2。又x+y=2→y=0,x=2。代入二式：4+0=k，k=4。方程组的解{x=2,y=0}。
拓展2. 将②变形为9x−4y=3(3x−2y)+2y=19。把①3x−2y=5代入：3×5+2y=19，2y=4，y=2。代入①：3x−4=5，x=3。
拓展3. (1)解{x+y=3,x−y=1}得x=2,y=1。(2)代入：{2m+n=8,2n−m=4}。二式m=2n−4代入：2(2n−4)+n=8→5n−8=8→n=16/5=3.2，m=32/5−4=12/5=2.4。
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