线性代数 | 6大典型题-特征值 No.173

线性代数 6大典型题 – 特征值

编号：173

六、幂零矩阵与特征值 专题

【题目】已知 A 为 3 阶矩阵，A²=O 且 A≠O，求 A 的特征值及 r(A) 的可能取值。

【解析】① 设 λ 为 A 的特征值，x 为对应特征向量：Ax=λx。

则 A²x=λ²x=0，因 x≠0 ⇒ λ²=0 ⇒ λ=0（唯一特征值，3 重根）。

② A≠O ⇒ r(A)≥1；A²=O ⇒ r(A)≤2 且 A 为幂零矩阵。