人教版七年级下册数学 5.1 相交线 同步练习
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【知识梳理】
1. 邻补角：有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。邻补角互补。
2. 对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。对顶角相等。
3. 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
4. 垂线的性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
5. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
注意：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A. 两角有公共顶点且相等 B. 两角有公共顶点且两边互为反向延长线
C. 两角相邻且互补 D. 两角相等且相邻
2. 如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC=50°，则∠BOD=（ ）
A. 40° B. 50° C. 130° D. 150°
3. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=140°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 140° B. 40° C. 90° D. 100°
4. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是（ ）
A. ∠COE B. ∠COF C. ∠BOD D. ∠AOE
5. 如图，三条直线a、b、c相交于同一点，则图中对顶角共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
6. 一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，则这个角的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 45° D. 55°
二、填空题（每题4分，共20分）
7. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD=2∶3，则∠BOD=_______°。
8. 若∠α=35°，则∠α的余角为_______°，补角为_______°。
9. 如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，若∠1=25°，则∠2=_______°。
10. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE=_______°。
11. 已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOC-∠AOD=50°，则∠BOC=_______°。
三、解答题（共56分）
12.（8分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=60°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。
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13.（8分）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，求∠AOE的度数。
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14.（8分）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE=35°，求∠AOF的度数。
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15.（10分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=80°。求∠BOC的度数。
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16.（10分）如图，直线AB与CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD。求证：M、O、N三点共线。
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17.（12分）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。
(1) 求∠MON的度数；
(2) 若∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，求∠MON的度数。
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【拔高提升】
拓展题1.（8分）平面内有n条直线两两相交，最多有多少个交点？最少有多少个交点？
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拓展题2.（8分）如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC。求∠MON的度数。由此你能得到什么结论？
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拓展题3.（8分）观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）：
(1) 图①中共有______对对顶角；
(2) 图②中共有______对对顶角；
(3) 图③中共有______对对顶角；
(4) 研究(1)~(3)中对顶角对数与直线条数的关系，若n条直线相交于一点，则可形成______对对顶角。
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参考答案
一、选择题
1. B 解析：对顶角的定义：一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。
2. B 解析：∠AOC与∠BOD是对顶角，对顶角相等。
3. B 解析：∠AOC+∠AOD=180°（邻补角），∠AOC=180°-140°=40°。
4. C 解析：∠AOC的两边OA和OC的反向延长线分别为OB和OD，所以∠AOC的对顶角是∠BOD。
5. D 解析：三条直线相交于一点，共有6对对顶角。公式：n条直线，对顶角对数为n(n-1)。
6. B 解析：设这个角为x°，则180-x=3(90-x)-10，解得x=50。
二、填空题
7. 72 解析：设∠AOC=2x，∠AOD=3x，2x+3x=180°，x=36°，∠AOC=72°，∠BOD=∠AOC=72°。
8. 55，145 解析：余角=90°-35°=55°，补角=180°-35°=145°。
9. 65 解析：AB⊥CD，∠AOD=90°，∠1=25°，∠2=90°-25°=65°。
10. 40 解析：∠BOD=100°，∠AOD=180°-100°=80°。OE平分∠AOD，∠AOE=80°/2=40°。
11. 115 解析：∠AOC+∠AOD=180°，又∠AOC-∠AOD=50°，解得∠AOC=115°，∠BOC=∠AOD=65°。
三、解答题
12. ∠BOD=∠AOC=60°（对顶角相等）；∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°（邻补角）；∠BOC=∠AOD=120°（对顶角相等）。
13. ∠BOD=∠AOC=70°（对顶角），OE平分∠BOD，∠DOE=35°。∠AOE=∠AOD+∠DOE=(180°-70°)+35°=110°+35°=145°。
14. AB⊥CD，∠AOD=90°。∠COE=35°，∠DOE=90°-35°=55°。∠AOF=∠DOE=55°（对顶角）。
15. 设∠BOC=x，则∠1=∠2=(180°-x)/2=90°-x/2。同理∠3=∠4=∠A/2=40°。由∠1+∠2+∠3+∠4=180°，(90°-x/2)+(90°-x/2)+40°+40°=180°，x=80°。∠BOC=80°。
16. 设∠AOC=∠BOD=2α。OM平分∠AOC，∠AOM=α。ON平分∠BOD，∠DON=α。∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON=α+(180°-2α)+α=180°。所以M、O、N三点共线。
17. (1)∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°。OM平分∠AOC，∠MOC=60°。∠COM=60°，ON平分∠BOC，∠NOC=15°，∠MON=∠MOC-∠NOC=45°。(2)∠MON=(α+β)/2-β/2=α/2。即∠MON=α/2，与β无关。
【拔高提升】
拓展1. n条直线两两相交，最多交点：任意两条直线不平行即有一个交点，Cn=n(n-1)/2个。最少交点：n条直线互相平行时0个；但要求两两相交，则所有直线交于同一点，有1个交点。
拓展2. ∠MON=(90°+β)/2-β/2=45°。结论：不论∠AOC为多少度，∠MON恒等于45°。
拓展3. (1)2对 (2)6对 (3)12对 (4)n(n-1)对。规律：每增加一条直线，对顶角增加2(n-1)对，n条直线共有n(n-1)对对顶角。
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