线性代数 6大典型题 - 行列式 编号：004 五、克莱姆法则解方程组 专题 【题目】用克莱姆法则解方程组：x+y+z=6, x-y+z=2, x+y-z=0。 【解析】系数矩阵 A = [[1,1,1],[1,-1,1],[1,1,-1]]。 |A|=1...

线性代数 6大典型题 - 行列式 编号：003 四、范德蒙行列式应用 专题 【题目】计算 D = |1 1 1; a b c; a² b² c²|。 【解析】这是三阶范德蒙行列式。 D = (b-a)(c-a)(c-b)。 验证：不妨设 a=1...

线性代数 6大典型题 - 行列式 编号：002 三、行列式性质应用-化三角 专题 【题目】计算 n 阶行列式 D_n = |a 1 1 ... 1; 1 a 1 ... 1; ...; 1 1 1 ... a|。 【解析】将所有行加到第一行得 (a+n-...

线性代数 6大典型题 - 行列式 编号：001 二、三阶行列式计算（沙路法） 专题 【题目】计算 D = |1 2 3; 4 5 6; 7 8 0|。 【解析】沙路法：正项=1*5*0+2*6*7+3*4*8=0+84+96=180 负项=3*5*7+2*4*0...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：200 三、矩阵方程的求解 专题 【题目】已知 AX=B，求 X。其中 A=[[1,2],[3,4]]，B=[[5,6],[7,8]]。 【解析】A 可逆（|A|=-2），则 X=A^{-1}B。 A^{-1}=1/(-2)...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：199 二、逆矩阵求解（伴随矩阵法） 专题 【题目】求 A=[[2,1],[4,3]] 的逆矩阵。 【解析】① |A|=2*3-1*4=6-4=2≠0，可逆。 ② 伴随矩阵 A*=[[A₁₁,A₂₁],[A...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：198 一、矩阵乘法与幂运算 专题 【题目】设 A=[[1,1],[0,1]]，求 A^n（n 为正整数）。 【解析】A = E+B，其中 B=[[0,1],[0,0]]，B²=O。 A^n = (E+B)^n = E + ...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：197 六、对称矩阵与正交矩阵 专题 【题目】判断 A=[[1/√2,1/√2],[-1/√2,1/√2]] 是否为正交矩阵。 【解析】正交矩阵定义：A^T·A=E。 A^T=[[1/√2,-1/√2],...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：196 五、分块矩阵求逆 专题 【题目】求 D=[[1,0,0],[0,2,3],[0,4,5]] 的逆矩阵（分块法）。 【解析】D 为分块对角形：D=diag([1], A)，A=[[2,3],[4,5]]。 |A|=...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：195 四、矩阵的秩的计算 专题 【题目】求矩阵 A=[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]] 的秩。 【解析】观察：第一列全为1:2:3，第二列是第一列的2倍，第三列是第一列的3...