线性代数 | 6大典型题-二次型 No.21

线性代数 6大典型题 – 二次型

编号：021

四、二次型正定性的判定 专题

【题目】判定 f=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃ 是否正定。

【解析】写出对称矩阵 A=[[1,1,1],[1,2,0],[1,0,3]]。

计算顺序主子式：

Δ₁=1>0；

Δ₂=|1 1; 1 2|=2-1=1>0；

Δ₃=|A|=1·(6-0)-1·(3-0)+1·(0-2)=6-3-2=1>0。

所有顺序主子式 >0 ⇒ 二次型正定。