线性代数 | 6大典型题-二次型 No.5

线性代数 6大典型题 – 二次型

编号：005

六、合同判断与正定矩阵构造 专题

【题目】判断 f₁=x₁²+x₂² 与 f₂=2x₁²+2x₂² 是否合同，是否等价（相似）。

【解析】合同：B=C^T·A·C。f₁ 对应 A=I，f₂ 对应 B=2I。

B=(√2·I)^T·I·(√2·I)，√2·I 可逆，故 A 与 B 合同。

I 和 2I 特征值不同（1 vs 2），不相似（相似保持特征值）。

合同保持正定性但数值变，相似保持数值不变。