线性代数 6大典型题 - 二次型 编号：076 五、惯性指数应用 专题 【题目】二次型 f=x₁²+2x₂²-x₃²+4x₁x₂-2x₁x₃，求正负惯性指数。 【解析】A=[[1,2,-1],[2,2,0],[-1,0,-1]]。 特征方程 ...

线性代数 6大典型题 - 向量组 编号：163 二、线性相关/无关判定 专题 【题目】判断向量组 α₁=(1,2,3), α₂=(2,4,6), α₃=(1,1,1) 是否线性相关。 【解析】方法一：α₂=2α₁，故 α₁ 与 ...

线性代数 6大典型题 - 行列式 编号：011 六、伴随矩阵与行列式关系 专题 【题目】设 A 为 3 阶矩阵，|A|=2，求 |3A*|。 【解析】A* 为伴随矩阵，|A*| = |A|^{n-1} = 2^{3-1} = 4。 3A* 是数乘伴...

线性代数 6大典型题 - 二次型 编号：119 六、合同判断与正定矩阵构造 专题 【题目】判断 f₁=x₁²+x₂² 与 f₂=2x₁²+2x₂² 是否合同，是否等价（相似）。 【解析】合同：B=C^T·A·C。f₁ ...

线性代数 6大典型题 - 向量组 编号：195 四、向量空间与子空间和交 专题 【题目】设 V₁=Span{α₁=(1,0,1),α₂=(0,1,0)}，V₂=Span{β₁=(1,1,0),β₂=(0,1,1)}。求 V₁∩V₂ 的基和维数。 【...

线性代数 6大典型题 - 向量组 编号：078 一、线性表示判定 专题 【题目】判断 β=(1,2,3)^T 能否由 α₁=(1,1,1)^T, α₂=(1,1,0)^T, α₃=(1,0,0)^T 线性表示。 【解析】构造增广矩阵 (α₁,α...

线性代数 6大典型题 - 特征值 编号：049 二、特征值的性质应用 专题 【题目】已知3阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3，求 |A²-2A+E|。 【解析】设 f(x)=x²-2x+1=(x-1)²。 f(A)=A²-2A+E 的特征值为 ...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：137 六、对称矩阵与正交矩阵 专题 【题目】判断 A=[[1/√2,1/√2],[-1/√2,1/√2]] 是否为正交矩阵。 【解析】正交矩阵定义：A^T·A=E。 A^T=[[1/√2,-1/√2],...

线性代数 6大典型题 - 二次型 编号：108 一、二次型写成矩阵形式 专题 【题目】将二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+4x₁x₂+3x₂²-2x₁x₃+6x₂x₃+x₃² 写成矩阵形式。 【解析】f = x^T·A·x，...

线性代数 6大典型题 - 矩阵 编号：052 五、分块矩阵求逆 专题 【题目】求 D=[[1,0,0],[0,2,3],[0,4,5]] 的逆矩阵（分块法）。 【解析】D 为分块对角形：D=diag([1], A)，A=[[2,3],[4,5]]。 |A|=...